≒ｂｌｏｇ

等加速度直線運動

愉快な馬車屋 — 2009-03-26T23:00:17+09:00

ある直線上を、一定の加速度で加速あるいは減速しながら進む運動を、等加速度直線運動といいます。

初速度を v_０〔m/s〕　，　あるときの速度を v 〔m/s〕　，　加速度を a 〔m/s² 〕　，　速度が v_０〔m/s〕から v 〔m/s〕になるまでにかかった時間を t 〔s〕　，　t 〔s〕の間に進む距離をｘ〔m〕とすると、等加速度直線運動をしているとき、次の３つの式が成り立ちます。

↑の式を①とする。

↑の式を②とする。

↑の式を③とする。

今回は、この３つの式について書いていきます。

＜　ｖ　＝　ｖ_０＋　ａｔ　＞

この式のアルファベットを日本語に直すと

（速度）＝（初速度）＋｛（加速度） × （かかった時間）｝

それでは、この式の表す意味について考えてみましょう。

まず、初速度とは加速する前の初めの速度のことです。だから、加速度が０のとき（加速や減速をしないとき）は、（速度）＝（初速度）　　　です。

ここで、速度が v_０〔m/s〕から v 〔m/s〕になるまでの速度の変化量を ⊿v 〔m/s〕とすると
（速度）＝（初速度）＋（速度の変化量）　　　であるので
v ＝ v_０＋ ⊿v

また、加速度は「単位時間あたりの速度の変化」　（ＭＫＳ単位系では「１秒あたりの速度の変化」）であるので　（加速度） × （変化するのにかかった時間）＝（速度の変化量）

つまり、　at ＝ ⊿v

よって

v ＝　v_０＋ ⊿v　＝　v_０＋ at　　　　

＜　x　＝　ｖ_０ｔ　＋　1/2 × ａｔ²　＞

この式のアルファベットを日本語に直すと

（進んだ距離）
＝（初速度） × （移動時間）　＋　1/2 × （加速度） × （移動時間）^２

※ スペースの都合上、 t を「移動時間」と直しましたが、「かかった時間」と同じと考えてください。

先ほどと同じように、この式の表す意味について考えてみましょう。

まず、加速度が０のとき（加速や減速をしないとき）のグラフを縦軸を速度，横軸を時間としてかくと、図1のようになります。
※一般的に、縦軸を速度，横軸を時間としたグラフを　v-t グラフ　といいます。

補足図　（図１と図２）

速度は「単位時間あたりに進む距離」　（ MKS単位系では「1秒あたりに進む距離」）であるので
（速度） × （かかった時間）＝（進んだ距離）

だから、図1の赤線の部分がかかった時間であるとすると、図2の灰色の部分の面積が進んだ距離を表します。

一般的に、速度が一定でないときでも、 v-ｔグラフの面積は進んだ距離を表します。

速度が一定でない場合の説明

ここで、先ほど書いたように、等加速度直線運動では
v ＝ v_０＋ at　　であるので　　v ＝ at ＋ v_０　　と考えると
数学でよく用いる 「直線の方程式　ｙ＝ａｘ＋ｂ」 と同じ形をしていることが分かります。
（ｙ＝ａｘ＋ｂ　の　ｙが v ，ａがａ，ｘが t ，ｂが v_０であると考えてください。）

つまり、縦軸を v ，横軸を t （ v-t グラフ) とすると等加速度直線運動のグラフは、傾きが a ，t ＝０のとき v ＝ v_０である直線になります。

よって、a＞０のとき（加速するとき）の等加速度直線運動の v-t グラフは図3のようになります。
※ a＞０のとき（加速するとき）の方が分かりやすいので、 a＞０であるとして書いていきますが、 a＜０のとき（減速するとき）も同じように考えることができます。

補足図　（図３～図６）

進んだ距離は v-t グラフの面積であるので、図４の灰色の部分の面積が進んだ距離を表します。

ここで、図５のように v-t グラフの面積を長方形の部分（水色の部分) と三角形の部分（赤色の部分）に分けて考えてみます。

長方形の部分の面積は、初速度のままで t 秒動いたときに進む距離です。つまり、ｔ秒の間に（加速しなくても）最低限進む距離を表します。

そして
（長方形の部分の面積）＝（初速度） × （かかった時間）＝ v_０ × t ＝ v_０ t

一方、三角形の部分の面積は、初速度よりも速くなった部分で進む距離を表します。

等加速度直線運動で進む距離についての補足説明

ここで、図６のように三角形の部分の緑の部分を黄色の部分の場所に移動させると、三角形が長方形になり、高さが一定になります。この一定の高さは、初速度からの速度の変化量の平均を表します。

先ほどと同じように、速度が v_０〔m/s〕から v 〔m/s〕になるまでの速度の変化量を ⊿v 〔m/s〕とすると、初速度からの速度の変化量は、最初は０ですが徐々に大きくなり、 t 秒後には ⊿v 〔m/s〕になります。
なので
（初速度からの速度の変化量の平均）＝（ 0 ＋ ⊿v ） ÷ 2 ＝ ⊿v / 2

よって
（三角形の部分の面積）
＝（新しくできた長方形の面積）
＝（初速度からの速度の変化量の平均） × （かかった時間）
＝ ⊿v /2　×　t
＝ 1/2　× ⊿vt

先ほど書いたように　⊿v ＝ at　であるので
1/2　× ⊿vt　＝　1/2　× at × t　＝　1/2　× ａｔ²

したがって
ｘ＝（ v-t グラフの面積）
　＝（長方形の部分の面積）＋（三角形の部分の面積）
　＝ v_０ t　＋　1/2　× ａｔ²

②の式の別の導き方

＜　ｖ²　－　ｖ_０²　＝　２ａｘ　＞

この式のアルファベットを日本語に直すと

（速度）^２－（初速度）^２＝２ × （加速度） × （進んだ距離）

①，②で使われている　「初速度」・「速度」・「加速度」・「かかった時間」・「進んだ距離」　の中で分かっていないものが１つだけあるときは、①か②のどちらかを用いて求めることができます。
しかし、分かっていないものが２つあるときは、①か②のどちらかだけでは求まらず、①と②の両方を用いて（連立して）求めます。

例えば、加速度と進んだ距離が分かっていないときは、次のようにすれば求まります。
（解き方の一例であるので、違うやり方でも求まります。）

［１］　①の式を変形して　a ＝～　の形にする。
［２］　［１］で変形したものを②に代入する。
［３］　［２］で新しくできた式からｘを求める。
［４］　［３］で求まったｘの値を［１］で変形したものに代入して a を求める。

ここで、もし［２］で新しくできる式をあらかじめ知っていたら、ｘはその式を変形するだけで求まります。つまり、求めたいものが進んだ距離だけならば、代入する必要がなくなります。

上の例の［２］では a を含まない式ができましたが、同様にして t を含まない式を作ることもできます。その「 t を含まない式」が③です。

ｔを含まない式の作り方の例

③の式を変形して　「 v_０＝～」　，　「 v ＝～」　，　「 a ＝～」　，　「ｘ＝～」　の形にできるので、「かかった時間」　と　「初速度」・「速度」・「加速度」・「進んだ距離」のどれか１つ　が分かっていないときに、「初速度」・「速度」・「加速度」・「進んだ距離」のどれか１つを求めるのに役立ちます。

③は①と②から作れるので、必ずしも覚える必要はありませんが、導くのが少し難しく、使う機会も少なくはないので（①，②と比べると使う機会は少ないですが・・・）覚えておくと便利です。

今回書いた３つの式は、よく使うので、式の意味をしっかりと理解しておくと良いと思います。

また、②の式を導くときに、グラフの面積を考えて導きましたが、物理ではよくグラフの面積を考えます。
※一般的に、縦軸を○，横軸を△としたグラフ（ ○-△グラフ）では、○-△グラフの面積は ○×△ を表します。（例えば、縦軸を加速度，横軸を時間とした a-tグラフの面積は a × ｔ＝ at を表します。）

⊿　・　平均の速度と瞬間の速度　・　加速度

愉快な馬車屋 — 2008-12-30T22:19:25+09:00

＜⊿　（デルタ）＞

変化量を表すときに、 ⊿ （デルタ）という文字を用いて、⊿○と表すことがあります。（○は変化するもの）
例えば、時間の変化量を ⊿t ，速さの変化量を ⊿v などと表します。

ちなみに、（あとの量）＝（はじめの量）＋（変化量）であるので

（変化量）＝（あとの量）－（はじめの量） 　　　　　　　です。

例えば
あるときの気温がt₁ 〔℃〕であり、その後時間が経過して気温がt₂ 〔℃〕になったとき、気温の変化量を　⊿ｔ〔℃〕とすると

t₂ ＝ t₁ ＋ ⊿t　　であるので

⊿t ＝ t₂ － t₁　　　　　　　となります。

※温度の文字はよくｔを使います。これは temperature （温度）の頭文字からとったものだと思います。

＜平均の速度と瞬間の速度＞

ある場所から車で４０ｋｍ離れたところまで行くのに２時間かかったとき、速度を v とすると

v ＝４０〔ｋｍ〕÷２〔ｈ〕＝２０〔km/h〕　　　となります。

しかし、現実的に考えると、車は常に一定の速度で動いているわけではなく、止まったり加速したり減速したりして速度を変化させながら進んでいます。だから、この２０km/h という速度は、２時間の間の様々な速度の平均の値を表します。このような速度を平均の速度といいます。

ここで、移動時間を少なくしていくと、（静止・加速・減速の回数が減っていくので）速度の変化の回数も減っていきますよね。だから、移動時間を限りなく０に近づけた微少の時間にすると、速度の変化の回数は０になります。速度が変化していなければ、（「ある瞬間の速度」＝「一定の速度」となるので）ある瞬間の速度を求められるので、移動時間を微小として計算した速度を瞬間の速度といいます。

※ちなみに、「移動時間を微小とした計算」は数学でいう「微分」のことです。

ふつうは、速度は瞬間の速度の意味で使います。（例えば、車などのメーターに表示されるのも瞬間の速度ですよね。）

しかし、高校物理で瞬間の速度を求めることはたぶんないと思うので、平均の速度だけ求められれば十分だと思います。

ちなみに、常に一定の速度で動いてる場合は、移動時間を微小としなくても、「ある瞬間の速度」＝「一定の速度」となるので、「平均の速度」＝「瞬間の速度」となります。

＜加速度＞

先ほど書いたように、常に一定の速度で動くのは特別な場合だけで、ふつうは途中で加速したり減速したりして速度が変化します。その速度の変化の度合いを表すのが加速度です。

加速度の定義は「単位時間あたりの速度の変化」です。

つまり

（加速度）＝（速度の変化量） ÷ （変化するのにかかった時間）

ここで
（変化するのにかかった時間）＝（変化し終わったときの時間）－（変化し始めたときの時間）であるので
(変化するのにかかった時間)＝（時間の変化量）　となります。

よって、速度の変化量を ⊿v　，時間の変化量を ⊿ｔ　，加速度を a とすると

※加速度の文字はよく a を使います。これは acceleration （加速度）の頭文字からとったものだと思います。

※速度と同じように、上の式で求められる加速度を平均の加速度といい、⊿ｔを限りなく０に近づけた微小の値として計算した加速度を瞬間の加速度といいます。
そして、加速度が常に一定の場合は、⊿ｔを微小としなくても、「平均の加速度」＝「瞬間の加速度」となるのも速度と同じです。

また、速度の変化量の単位は〔m/s〕　，時間の変化量の単位は〔s〕であるので、加速度の単位は

〔m/s〕 ÷ 〔ｓ〕＝〔 m × 1/s 〕 × 〔 1/s 〕
　　　　　　　　　＝〔 m × 1/s × 1/s 〕
　　　　　　　　　＝〔 m　×　1 / s² 〕
　　　　　　　　　＝〔 m/s² 〕

よって、加速度の単位は　〔 m/s² 〕　です。

ちなみに、加速度はベクトルです。
だから、（減速）＝（動いている向きの逆向きに加速）と考えられるので、「加速度」といっていますが、減速するときも加速度で表します。

次回は、等加速度運動の３つの式について書く予定です。

物理を学ぶための準備　２

愉快な馬車屋 — 2008-12-11T21:40:07+09:00

前回の更新からかなり間が開いてしまいましたが、しばらくはそこまで更新の間隔が広くなることはなさそうです。

＜スカラーとベクトル＞

大きさだけをもつ量をスカラー，向きと大きさをもつ量をベクトルといいます。
例
スカラー：長さ，速さ，質量　など
ベクトル：力，速度　など

ここでは、スカラーとベクトルの違いの具体例として、「速さ」と「速度」の違いを説明します。

日常的には、「速さ」と「速度」は同じものとして使われていますが、物理では「速さ」と「速度」は異なるものとして扱います。

「速さと速度の違い」の補足図
↑の図のＡと書いてあるところにＡ君がいます。Ａ君のいるところから各駅までの距離は図に書いてあるとおりです。このとき、「Ａ君が１．２５m/sで歩くとすると、駅に着くまでにかかる時間は何秒か」という問題があったとします。ところが、駅といわれても図には４つも駅があり、A君がどの駅に着いたかでかかる時間は異なります。

そこで、問題を「Ａ君が北向きに１．２５m/sで歩くとすると、駅に着くまでにかかる時間は何秒か」に変えると、「Ａ君が北駅に着くまでの時間」に限定されます。

このように、同じ速さでも向きが異なると結果が変わってしまうので、大きさだけでなく向きも考えなければならないのです。「速さ」は「１．２５m/s」のように大きさだけをもつ量（＝スカラー）であり、「速度」は「北向きに１．２５m/s」のように大きさと向きをもつ量（＝ベクトル）です。

※ちなみに、上の問題は北駅まで２ｋｍ（＝２０００ｍ）なので
２０００〔ｍ〕÷１．２５〔ｍ/ｓ〕＝１６００〔s〕
よって、北駅に着くまでの時間は１６００秒となります。

向きの表し方は、「北向きに」，「右向きに」などと表すほかに、「右向きを正とする」，「西向きを負とする」などとして＋，－で表すこともあります。（例えば、右向きを正とするとき、向きが右ならば＋で左ならば－となり、右向きを負とするとき向きが右ならば－で左ならば＋となります。）

スカラーは「～の大きさ」（速度の大きさなど）と表すこともあります。また、文字や数値には絶対値をつけて表します。

例：先ほどの図（「速さと速度の違い」の補足図）において、次の問題を解いてください。
（１）　東向きを正とするとき、Ａ君が－３ｍ/ｓで歩いて駅に着くまでにかかる時間は何秒か。
（２）　南向きを負とするとき、Ａ君が４００秒で南駅についた。そのときの速度と速さを求めよ。

（１）
東向きを正としていて速度が負であるので、西駅に着くまでにかかる時間を求めればよい。
西駅まで１．５ｋｍ（＝１５００ｍ）であるので
１５００〔ｍ〕÷３〔ｍ/s〕＝５００〔s〕
よって、求める時間は５００秒

※西駅までの距離が負であるので
（－１５００〔ｍ〕）÷（－３〔ｍ/s〕）＝５００〔s〕　と考えてもいいです。

（２）
南向きを負としていてＡ君の進む向きが南であるので、速度は負である。
南駅まで１ｋｍ（＝１０００ｍ）であるので速度をｖとすると
ｖ＝－（１０００〔ｍ〕÷４００〔s〕）＝－２．５〔ｍ/s〕
また、速さは
｜ｖ｜＝｜－２．５〔ｍ/s〕｜＝２．５〔ｍ/s〕
よって、求める速度は－２．５〔ｍ/s〕，求める速さは２．５〔ｍ/s〕

※速度を求めるところで、南駅までの距離が負であるので
ｖ＝（－１０００〔ｍ〕）÷４００〔s〕＝－２．５〔ｍ/s〕　と考えてもいいです。

＜10のｎ乗＞

桁数の大きい数や小数を含む計算のときに、１０のｎ乗を考えると計算しやすくなります。
10^ｎのｎが正の整数（１，２，３，・・・）だけでなく、０や負の整数（－１，－２，－３，・・・）になる場合も考えると、下の表のようになります。（要するに、10^ｎのｎが整数のときの表です。）

・・・・・・	10^－3	10^－2	10^－1	10⁰	10¹	10²	10^３	・・・・・・
・・・・・・	0.001	0.01	0.1	1	10	100	1000	・・・・・・

ｎが正の整数のとき、10¹，10²，10³，・・・　と増えていくごとに１０倍ずつ増えていくので、　・・・，10³，10²，10¹　と減っていくときには1/10倍ずつ減っていきます。
同じように、ｎが１よりも小さい整数でもｎが１減るごとに1/10倍ずつ減っていきます。

よって
10^０　＝　10^１× 1/10　＝　１０× 1/10　＝　１

※一般的に　a⁰　＝　a¹× 1/a　＝　a× 1/a　＝　１　となるので　a⁰＝1です。

また
１０^－１　＝　10⁰× 1/10　　　＝　1× 1/10　＝　1/10　＝　０．１

１０^－２　＝　10⁰×（1/10）^２　＝　1× 1/100　＝　1/100　＝　０．０１

１０^－３　＝　10⁰×（1/10）^３　＝　1× 1/1000　＝　1/1000　＝　０．００１　　　　　　　　　　　　　　　　

ｎが－４より小さい整数でも同様になるので
１０^－ｎ　＝　10⁰×（1/10）^ｎ　＝　1×（1/10）^ｎ＝ 1 / 10^ｎ

※一般的に　a^－ｎ　＝　a⁰×（1/a）ⁿ　＝　１×（1/a）ⁿ　＝　1 / aⁿ　となるので　a^－ｎ＝1 / aⁿ　です。

ところで、０が多くなると、10^ｎの形に直しにくくなるのですが、その場合にはｎの絶対値の小さいものを具体的に考えると、直しやすくなります。

①　ｎが１より大きい整数のとき（小数でないとき）
10＝10^１　，　100＝10^２　，　1000＝10^３　，　10000＝10^４　，　・・・　となるので
ｎ＝　（桁数）－１　＝　（０の個数）

②　ｎが１より小さい整数のとき（小数のとき）
０．１＝10^－1　，　０．０１＝10^－2　，　０．００１＝10^－3　，　０．０００１＝10^－4　，　・・・　となるので
ｎ＝　－（小数点の右にある数字の個数）

例：次の計算をしてください。ただし、答えはa×１０^ｎの形で答えてください。（１＜a＜１０）
（１）　２０００００×３００００
（２）　０．０２５×２００００
（３）　０．００４×０．００００２×７００００

（１）
２０００００＝２×１０００００
３００００＝３×１００００

１０００００は０が５つ，１００００は０が４つなので①より

２０００００＝２×10^５
３００００＝３×10^４

よって
２０００００×３００００＝（２×10^５）×（３×10^４）
　　　　　　　　　　　　　＝（２×３）×（10^５×10^４）
　　　　　　　　　　　　　＝６ × （１０×１０×１０×１０×１０） × （１０×１０×１０×１０）
　　　　　　　　　　　　　＝６×10^９

（２）
０．０２５＝２５×０．００１
２００００＝２×１００００

０．００１は小数点の右に数字が３つ，１００００は０が４つなので①，②より

０．０２５＝２５×10^－3
２００００＝２×10^４

よって、１０^－ｎ＝ 1 / 10^ｎであるので
０．０２５×２００００＝ (２５×10^－3)×(２×10^４）
　　　　　　　　　　　　＝（２５×２）×（10^－3×10^４）
　　　　　　　　　　　　＝５０×（1/10^３　×10^４）
　　　　　　　　　　　　＝５０×（10^４ / 10^３）
　　　　　　　　　　　　＝５０×（１０×10^３　/　10^３）
　　　　　　　　　　　　＝５０×１０
　　　　　　　　　　　　＝５×１０×１０
　　　　　　　　　　　　＝５×10^２

（３）
０．００４＝４×０．００１　
０．００００２＝２×０．００００１　
７００００＝７×１００００

０．００１は小数点の右に数字が３つ，０．００００１は小数点の右に数字が５つ，１００００は０が４つなので①，②より

０．００４＝４×10^－3
０．００００２＝２×10^－５
７００００＝７×10^４

　よって、１０^－ｎ＝ 1 / 10^ｎであるので
０．００４×０．００００２×７００００
＝（４×10^－3）×（２×10^－５）×（７×10^４）
＝（４×２×７）×（10^－3×10^－５×10^４）
＝５６×（1/10^３ × 1/10^５ ×10^４）
＝５６×｛ 10^４　/　（10^３×10^５）｝
＝５６×｛（10×10×10×10）　/　（10×10×10 × 10×10×10×10×10 ）｝
＝５６×｛　１　/　（10×10×10×10）　｝
＝５．６×１０×｛　１　/　（10×10×10×10）　｝
＝５．６×｛　10　/　（10×10×10×10）　｝
＝５．６×｛　１　/　（10×10×10）　｝
＝５．６×10^－3

ここまでは、ほとんど数学のようでしたが、次回からいよいよ物理について書いていきます。ちなみに、「物理を学ぶための準備」は、これからも必要に応じて書いていきます。

物理を学ぶための準備　１

愉快な馬車屋 — 2008-07-18T22:36:48+09:00

ここでは物理を学ぶ際に必要なルール、数学的知識（のなかで大事だと思われるもの）を簡単に説明していきます。

＜MKS単位系＞

たとえば、
「８００ｍを６分４０秒で動く物体の速さはいくらか」という問題があったとします。これは前回の速さの定義を使えば解けますが、

８００÷６．４＝１２５　　　と計算した人はいませんよね？この場合、６分４０秒を「分」か「秒」にそろえてから計算します。

このようなときに、どの単位にそろえるかということのルールがいくつかあるのです。

例えば、長さの単位に〔ｍ〕（メートル），質量の単位に〔ｋｇ〕（キログラム），時間の単位に〔ｓ〕（秒）の単位を使うというルールがあります。このルールのことを〔ｍ〕，〔ｋｇ〕，〔ｓ〕から１文字ずつとって、MKS単位系と呼んでいます。
※質量は、とりあえず重さとほとんど同じものと思ってください。厳密には全く違うものですが、その説明はもう少し後でします。

高校物理では、基本的にこのMKS単位系を用います。
なので、例えば上の問題は次のように解きます。

１〔分〕＝６０〔ｓ〕なので
６〔分〕＝６×６０〔ｓ〕＝３６０〔ｓ〕
よって、８００ｍ進むのにかかる時間は
３６０〔ｓ〕＋４０〔ｓ〕＝４００〔ｓ〕
したがって、求める速さは
８００〔ｍ〕÷４００〔ｓ〕＝２〔m/s〕

※上で「このようなとき」と書きましたが、異なる単位があるとき（分と秒など）だけでなく単位がルールに従っていないときも単位を変えます。たとえば、「８０〔ｃｍ〕＋４０〔ｃｍ〕」という問題はMKS単位系に従って解くと次のようになります。

８０〔ｃｍ〕＋４０〔ｃｍ〕＝１２０〔ｃｍ〕　　　　

となりますが、ここで終わりするのではなく、〔ｃｍ〕を〔ｍ〕に変えます。

１２０〔ｃｍ〕＝１．２〔ｍ〕
よって、答えは１．２〔ｍ〕となります。

ところで、〔km/h〕を〔m/s〕に変えるような単位の変換は大丈夫でしょうか?ここでは〔km/h〕を〔m/s〕に，〔m/ｓ〕を〔ｋm/ｈ〕に変換する方法について説明します。

まずは〔km/h〕→〔m/s〕です。

〔km〕を〔m〕に，〔h〕を〔s〕に変えればよいので

①１〔km〕＝１０００〔m〕なので１０００倍する。
ちなみに〔ｋm〕の中の「ｋ」は１０００倍というような意味です。
つまり、ａ〔km〕＝ａ〔１０００×m〕＝ａ×１０００〔m〕⇒「１０００倍する」ということです。

②１〔h〕＝６０〔分〕＝６０×６０〔ｓ〕＝３６００〔s〕より
a〔km/h〕＝a〔ｋm/３６００s〕＝a×1/３６００〔ｋm/s〕＝a÷３６００〔ｋm/s〕となるので３６００でわる。

これは、１秒あたりに進む距離（ｋm/s）は１時間（＝３６００秒）あたりに進む距離（ｋm/ｈ）の１/３６００倍であると考えると良いと思います。

※①と②はどちらからやっても同じなので、やりやすい順番でやってください。

それでは、７２〔km/h〕を〔m/ｓ〕に直してください。

①→②でやると
７２〔km/h〕×１０００＝７２０００〔m/ｈ〕
７２０００〔m/ｈ〕÷３６００＝２０〔m/ｓ〕

②→①でやると
７２〔km/h〕÷３６００＝０．０２〔km/ｓ〕　　　
０．０２〔km/ｓ〕×１０００＝２０〔m/s〕

次に〔m/ｓ〕→〔ｋm/ｈ〕です。

〔m〕を〔km〕に，〔s〕を〔h〕に変えればよいので

①１〔m〕＝１/１０００〔ｋm〕なので１０００でわる。
先ほどと同じように考えると、ａ〔m〕＝a〔（１/１０００）×km〕＝a×１/１０００〔ｋm〕＝ａ÷１０００〔ｋm〕⇒「１０００でわる」ということです。

②１〔s〕＝1/６０〔分〕＝1/６０×1/６０〔h〕＝1/３６００〔h〕より
a〔m/s〕＝a〔m/（１/３６００）×h〕＝a〔m/h/３６００〕＝a〔m÷h/３６００〕＝a〔m×３６００/h〕
＝a×３６００〔m/h〕となるので３６００をかける。　
（a〔m/h/３６００〕の後の計算は少し分かりにくいと思うので、下の※のところを見てください。）

これは、１時間（＝３６００秒）あたりに進む距離（m/ｈ）は１秒あたりに進む距離（m/ｓ）の３６００倍であると考えると良いと思います。

※　/　が続いて分かりにくいので　/　を使いましたが、　/　と同じです。また、÷は　/　を変えたものであることを強調するために赤くしました。

※　≪上で用いた計算≫
上では

A/B＝A÷Ｂより
a/b/c＝a÷b/c
Ａ÷Ｂ＝Ａ×１/Ｂ（＝Ａ×「Ｂの逆数」）より　　
a÷b/c＝a×c/b　

という計算を使いました。このように、分数のなかに分数があっても / を÷に変えて考えると良いのではないでしょうか？（計算の得意な人は÷に直さずに計算できてしまいますが・・・。ちなみに、私は計算が得意ではないので毎回÷に直して計算しています。まちがえそうなら面倒でも直したほうが正確で良いと思います。）

このような計算は、物理を学ぶ上で何度も使うことになるので、できるようになってください。
文字計算は、自分で手を動かさないとできるようになりません。嫌でも自分で計算するようにしてください。

※上と同じく、①と②はやりやすい順番でやってください。

それでは、１０〔m/ｓ〕を〔ｋm/ｈ〕になおしてください。

①→②でやると
１０〔m/ｓ〕÷１０００＝０．０１〔ｋm/ｓ〕
０．０１〔ｋm/ｓ〕×３６００＝３６〔ｋm/ｈ〕

②→①でやると
１０〔m/ｓ〕×３６００＝３６０００〔m/ｈ〕
３６０００〔m/ｈ〕÷１０００＝３６〔ｋm/ｈ〕

〔km/h〕→〔m/s〕はMKS単位系に合わせるために必要な変換です。また、前に書きましたが、日常的には〔m/ｓ〕よりも〔ｋm/ｈ〕を使います。そのため〔m/ｓ〕→〔ｋm/ｈ〕は物理を身近なものとして考えるために大事な変換です。

まだ、しばらくは「物理を学ぶための準備」は続きますが、長くなってきたので今回はここで終わりにします。

物理の式をより身近なものにするために

愉快な馬車屋 — 2008-05-25T20:12:17+09:00

よく「物理は、式を覚えても、それをいつ使ったらよいのか分からない。」というようなことを聞きます。それは、物理の法則を文字の羅列として覚えようとするからではないでしょうか。物理の式は、その表す意味を感覚で理解しようとすることが大事だと思います。

１つ例をあげましょう。

速さをｖ，進んだ距離をｘとして、ｘ進むのにかかった時間をｔとすると

↑ の式を①とする

確かに、このままだとただの文字の羅列に思えてしまいます。しかし、ｖ，ｘ，ｔ，は意味のある文字なのです。（上で「速さをｖ，進んだ距離をｘとして、ｘ進むのにかかった時間をｔとする」としているので）

なので、アルファベットを日本語に変えます。

（速さ）＝（距離）÷（時間）

このように書くと、上の式が小学校で習った速さと距離・時間の関係式であることが分かりやすいと思います。

物理の数式を見たときに、このように（実際には頭の中で）日本語に書き換えれば良いのです。

さらに、式の表す意味について考えてみるとより身近なものとなります。

それでは、上の式の表す意味とは何でしょうか？

実はこの式は速さの定義なのです。

速さの定義：　「単位時間あたりに進む距離を速さとする」

単位時間あたりというのは、秒速ならば１秒間あたり，時速ならば１時間あたりということです。
なので、例えば秒速10m/sは１秒間に１０m進むということを表しています。

さらに、式を変形するとまた違う意味を表します。

①の両辺にtをかけてください。(そして左辺と右辺を入れ換える）

↑の式を②とする

さっきと同じように数式を日本語に書き換えると

（距離）＝（速さ）×（時間）

それでは、この式の表す意味を考えましょう。

先ほど書いたとおり速さとは、単位時間あたりに進む距離を意味します。
また（単位時間あたりに進む距離）×（進んだ時間）＝（進んだ距離）となります。
なので、（距離）＝（速さ）×（時間）となるのです。

例ををあげましょう。
秒速１０m/sで５秒間移動したときに進んだ距離を求めましょう。

先ほど書いたとおり秒速１０m/sとは１秒間に１０m進むということを意味しています。
よって
（１秒間に１０ｍ）×（５秒間）＝５０ｍ
書き換えると
（１０m/s）×（５秒間）＝５０ｍ
確かに、（距離）＝（速さ）×（時間）になりますね。

次に、②の両辺をｖで割ってください。（そして左辺と右辺を入れ換える）

同じように、数式を日本語に書き換えると

（時間）＝（距離）÷（速さ）

同じように、この式の表す意味を考えましょう。

例をあげましょう。
秒速１０m/sで４０m進むのにかかる時間を求めましょう。

１秒間に１０m進む（＝１０m/s)ので
（４０m）÷（１秒間に１０m）＝（１秒）×４　（←４０mのなかに１秒間に進む距離が４こ）
　　　　　　　　　　　　　　　　＝４秒

※わかりにくい説明になってしまいましたね。
↓これを見ながら考えると少しはわかりやすいかもしれません。
（時間）＝（速さ）÷（時間）の補足図

書き換えれば
（４０ｍ）÷(１０m/s)＝４秒

（時間）＝（距離）÷（速さ）になりますね。

ところで、これらの式を導く変な方法があるようですが、それだと暗記するだけになり、物理の本質から離れていってしまうのではないでしょうか。これらの式は、今までやってきたように速さの定義を変形して求めればよいだけです。ただ、速さの定義は覚えなければなりません。

そこで、便利なのが単位です。

物理をやっているのならばm/sを何度も書きますし、日常的にはkm/hというのよく目にします。（km/hは、車やバイクなどのメーターにも書いてありますよね）

このｓ，ｈはsecond（秒），hour(時間）の頭文字をとったもので、それぞれ秒，時間を意味します。（わかりにくいですが、この場合の「時間」は１時間などと言うときの「時間」です。）

なので、速さの単位は（m/s，km/hなど）は、距離の単位（ｍ，ｋｍなど）を時間の単位（ｓ，ｈなど）で割ったものであり、速さは単位時間あたりに進む距離であることが単位からも分かります。

速さの定義が分かればそれを式にして変形すれば良いのです。しかし、ここでただ変形するだけではなく、変形するときに意味も確認しながら変形してみてはどうでしょうか？変形の確かめにもなりますし、何度もやっていると（定義から変形ということをしなくても）それぞれの式を感覚で導くことができるようになります。

ちなみに、左辺と右辺が等しいならば単位も等しくなります。
例えば（時間）＝（距離）÷（速さ）では

〔m〕÷〔m/s〕
＝〔m〕×〔s/ｍ〕＝〔s〕
(もちろん〔ｈ〕＝〔km〕÷〔km/h〕でも同様に成り立ちます）

※単位を書くときによく〔　〕をつけます。これは単位を文字と区別するためです。

さて、長々と書いてきましたが今回はこれらの式の説明がメインではないので、最後に物理の式をより身近なものにする方法をまとめてみましょう。（要するに今までのまとめですが・・・。）

○物理の式のアルファベットを日本語に変える。
そうすることで、文字の羅列から意味のあるものとなる。
（ちなみにアルファベットは英語の頭文字をとったものがほとんどです。たとえばｖはvelocity（速度）から，tはtime(時間）からとったものだと思います。←そのあたりはよく知らないので私の予想ですが・・・。）

○式の意味を理解しようとする。
そうすることで（たとえ意味が分からなくても）、物理の式がより身近なものになる。

○式を変形してみる。
そうすることで、式が違った意味を表す。

○単位を利用する。

○式を使うたびに表す意味を確認しながら使う。

※↑以外にも大事なことがある気がしますが、それは思いついたときに書きます。

物理を学ぶときに今回書いたようなことを実行しながら学べば、物理の楽しさや美しさが分かると思います。また、簡単な問題なら解けるようになるはずです。

これから本格的に物理について書いていきますが（いつ更新するかは未定ですが・・・）、今後の予定はまず力学（力や運動についての分野のことです。）について、物理Ⅰ･Ⅱを分けずに書いていきます。（←私の学校では教科書どうりに進めていないので、高校３年ですが電磁気学をまだやっていないので）力学以外のことも書くかは未定ですが、その後も変則的に書いていきます。

≒ｂｌｏｇ

等加速度直線運動

⊿ ・ 平均の速度と瞬間の速度 ・ 加速度

物理を学ぶための準備 ２

物理を学ぶための準備 １

物理の式をより身近なものにするために

⊿　・　平均の速度と瞬間の速度　・　加速度

物理を学ぶための準備　２

物理を学ぶための準備　１